Топологическая квантовая теория. V. Ручка Уилера или "Заряд без заряда".

Новый текст написан в конце раздела

XIII. Электричество, магнетизм и электрические заряды.

Рассматривая историю возникновения представлений о гравитации и о кривом пространстве, мы почти совсем не касались вопросов, связанных с другим важным взаимодействием материальных тел - электромагнитным. Хотя знания о существовании наэлектризованных тел появились, по всей видимости, раньше, чем о гравитации (гравитацию просто не замечали, считая ее естественным состоянием мира), но реальное ее описание появилось спустя больше ста лет после открытия Всемирного закона тяготения.

Сначала  был открыт закон Кулона, который во многом повторял закон Всемирного тяготения Ньютона. Этот закон так же указывал, что сила взаимодействия между наэлектризованными телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между наэлектризованными телами. Однако, в отличие от закона Всемирного тяготения, в котором взаимодействуют массы тел, в законе Кулона взаимодействуют заряды.      Заряд характеризует способность наэлектризованного тела притягивать, и что более важно, отталкивать другие наэлектризованные тела. В законе тяготения массы всегда притягиваются, а в законе Кулона - могут как притягиваться, так и отталкиваться. Оказалось, что заряды могут быть двух знаков - положительный и отрицательный. Причем одноименные заряды отталкиваются, а противоположного знака притягиваются.

   Это дополнительное свойство зарядов по сравнению с массами изменяет облик электрических взаимодействий по сравнению с тяготением. Например, гравитационное поле нельзя экранировать (по крайней мере сейчас), а электрическое можно. У электромагнитного поля есть еще одна важная особенность. Оно значительно интенсивнее поля тяготения. Поэтому поле тяготения проявляется на астрономических масштабах, а электромагнитное -  в привычном для нас мире.  Например, именно благодаря электричеству  мы наблюдаем во время грозы молнии. Однако электричество обеспечивает нас не только такими красивыми, эффектными, а иногда и грозными явлениями как молнии, оно обеспечивает наш мир возможностью существования вещества, что в конце концов позволяет существовать таким сложным объектам как животные и человек. Правда, при этом законы электричества должно сочетаться с квантовыми законами. 

Вторая ипостась электромагнитного взаимодействия - магнитное поле было открыто так же в древние времена. Китайские мореплаватели с древних времен использовали намагнитченные куски железа для того, чтобы определять направление на север. Это можно было сделать не по звездам или Солнцу, а по направлению, куда указывал намагниченный кусок  железа. 

Магнитное поле вместе с электрическим определяет такие эффектные явления в окружающем нас мире, как северные сияния. Но что более важно, магнитное поле защищает нас от заряженных частиц, приходящих из Космоса. Без земного магнитного щита жизнь навряд ли смогла появиться на Земле.  

Оба явления - электричество и магнетизм - были объединены в общий тип физического взаимодействия в середине XIX века великим английским физиком Максвеллом. Теория Максвелла объяснила множество явлений, связанных с электричеством и магнетизмом, и позволила предсказывать такие явления. В совокупности с достижениями экспериментальной физики в области магнетизма и электричества, которые были сделаны многими учеными XIX века, такими как Фарадей, Герц, Эрстед и другие, теория Максвелла позволила внедрить электрические и магнитные технологии в нашу повседневную жизнь. Прочесть о напряженных и захватывающих поисках истины учеными различных столетий в описании явлений электромагнетизма можно в замечательной книге В.П.Карцева "Приключения великих уравнений". (Скачать можно отсюда http://lib.rus.ec/b/297585ю Читать можно здесь: http://n-t.ru/ri/kr/pu.htm)

Современная физика включает теорию Максвелла как фундаментальную основу наших представлений об окружающем нас мире. Дополненная квантовыми законами эта теория позволила понять как устроено вещество, как устроены атомы и частично,  как устроены ядра атомов и элементарные частицы. Эта же теория позволила понять множество явлений в Космосе. Однако, хотя эта теория  помогает понять наш мир, но вместе с тем она содержит целый ряд загадок, которые не разгаданы и по сей день. Попытка разгадать часть этих загадок  и послужила причиной к использованию необычных свойств кривых пространств в теории элементарных частиц, которые впервые ввел в обиход физики выдающийся американский физик Дж. Уилер.

XIV. Сколько энергии необходимо, чтобы создать точечный заряд?

Вопрос, который вынесен в заголовок данного раздела, возник в теории электричества не сразу после создания теории Максвеллом. Во-первых, Масквелл, создавая свою теорию, еще не подозревал о существовании такой частицы как электрон. Во-вторых, такой вопрос превратился в проблему только после попыток установить реальный размер  электрона. И, в-третьих, этот вопрос тесно связан с вопросом: из чего складывается масса электрона? К этой же проблеме тесно примыкает проблема дискретности зарядов всех частиц. В чем же собственно проблема? Ответ на поставленный вопрос в классической теории Максвелла можно получить с помощью простой процедуры вычисления суммарной энергии всех элементов поля, созданного зарядом во всем пространстве.

Эти вычисления производятся с помощью математической процедуры  “взятия” интеграла от плотности энергии поля. Результаты таких вычислений проверялись многократно для различных явлений и систем и давали отличное совпадение с экспериментом. Но все эти вычисления дают бессмысленный результат, если заряд частицы сосредоточен в точке. В этом случае энергия поля оказывается бесконечной. Однако, как все мы отлично понимаем, точек в природе не бывает. Точка – это математическая идеализация. Поэтому ясно, что точечных частиц не бывает  и, значит, проблемы не должно быть. Просто надо поточнее измерить размер частицы, например, электрона, и после этого все станет на свои места. Например, классическая электродинамика Максвелла предсказывает, что электрон должен иметь размер (радиус), который  вычисляется по формуле:
$$r_0=e^2/(m_e\cdot c^2)\simeq 2.8 \cdot 10^{-13}см$$
Здесь $e$ - заряд электрона, $m_e$ - масса электрона, $c$ - скорость света.

Пока эксперименты не позволяли заглянуть на такие расстояния, вопрос о том, сколько же энергии необходимо, чтобы создать электрон, не очень беспокоил экспериментаторов. Ответ давался массой электрона и формулой Эйнштейна $E=m_e c^2$. Однако теоретиков он начал мучить задолго до того, как экспериментаторы столкнулись с проблемой реального определения размера электрона.

Как только появилась квантовая теория, то стало ясно, что с энергией электрона что-то не ладно. Квантовая теория постулирует, что частицы, ну по крайней мере, электроны - точки. Это означает, что расчеты энергии и массы электрона по классическим формулам не возможны. Но как тогда быть? Нужно откуда-то брать размер электрона. Квантовая теория утверждает, что все частицы - волны. Но у волны есть длина волны! Может быть, надо брать в качестве характеристики электрона именно этот размер? Однако у электронов, движущихся с различными скоростями,  размер будет разным, что будет приводить к энергиям, очень сильно различающимся. Но квантовая механика ничего больше предложить не может! А это означает, что энергия электрона не определена.

В дальнейшем экспериментаторы пришли к  неутешительному выводу, что они тоже не могут в эксперименте найти размер области, в которой сосредоточен  заряд электрона. Электрон ведет себя как точка! И это означает, что проблемы с массой и энергией решить не удается. Конечно, для создания электрона нужна небольшая масса. Но как ее вычислить?

Человек, изображенный на этой фотографии, - Джон Арчибальд Уилер, американский физик-теоретик (1911-2008). Совместно с другим известным американским  физиком-теоретиком          Ч. Мизнером Дж. Уилер предложил новую идеологию во взглядах на электрический заряд и новый подход к решению проблем, которые мы описали выше.Свою идею Уилер назвал "заряд без заряда". Сформулированная таким парадоксальным образом новая идея оперировала понятиями нового для физики, да и для самой математики, ее раздела - топологии. С появлением топологии в обиход математики попали такие объекты как "ручки".

Ручка - это пример поверхности с дыркой. Прообразом такой поверхности является обычная ручка, такая, как у гири, портфеля, чашки или чайника. Картинка, изображающая такую поверхность с ручкой, приведена на рисунке. Однако Уилеру нужна была ручка, которая была бы прикреплена не к поверхности, а к нашему 3-х мерному пространству. Такую ручку изобразить невозможно, как невозможно изобразить то, как выглядит наше пространство "со стороны". Однако, учитывая обстоятельство, что наши рассуждения относятся не к поверхности, а к трехмерному пространству, их можно продемонстрировать  на рисунке, изображающем двумерную ручку. (Следует отметить, что еще до Уилера некоторыми физиками высказывалась идея о существовании в пространстве так называемых кротовых нор. Эти объекты появляются в Общей теории относительности как решения уравнений Эйнштейна для пространства, заполненного экзотической материей. Но кротовые норы - это не совсем то, что, имел ввиду Уилер.)

Чтобы понять идею Уилера, предположим, что пространство с ручкой заполнено электрическим полем таким образом, что силовые линии этого поля втекают в одну из гордовин ручки и вытекают из другой. Это изображено на рисунке в виде красных линий со стрелкой. Величина заряда в области может быть подсчитана как число силовых линий, которые пересекают поверхность объема с учетом знака, который определяется тем, входит (+) или выходит (-) силовая линия из объема. Если внутри ручки нет электрических зарядов, то, как видно из рисунка, число силовых линий, входящих в одну горловину, будет в точности равно числу силовых линий, выходящих из второй горловины. Изюминкой такой конфигурации с ручкой является то обстоятельство, что для внешнего наблюдателя каждая из горловин будет
восприниматься   как область с зарядом, хотя в реальности никакого заряда там нет. Что видит наблюдатель? Он видит, что все силовые линии входят в какую-то область пространства, соответствующую одной горловине, и выходят из другой. Но раз линии входят в область, то это соответствует для него наличию в этой области заряда определенного знака. Другая горловина в этом случае для него является заряженным объектом другого знака. На лицо "заряд без заряда".
Важным свойством таких зарядов "без заряда" является то, что их энергия всегда конечна. Остается предположить, что реальные частицы - это такого типа ручки и мы получаем образ частиц как областей искривленного определенным образом пространства. Очень  привлекательная идея, если учесть, что в теории элементарных частиц существуют и другие заряды, например, барионный лептонный и т.д. Может быть такая идея позволит и их объяснить? Кроме этого, сразу бросается в глаза то, что идея Уилера - это воплощение идеи Клиффорда о геометрическом описании материи. Может, это и есть решение существа проблемы о представлении материи как проявлении геометрии мира. Уилер эту идею назвал "материя без материи"!

Однако при всей красоте и простоте эта идея Уилера содержит целый ряд недостатков, которые заставляют усомниться в ее реализуемости. Первая и самая очевидная проблема состоит в том, что все частицы должны быть связаны в пары с противоположными зарядами. С одной стороны, кажется, что это очень хорошо.  Мы ведь знаем, что у каждой частицы есть античастица. Но по идее Уилера частица и античастица связаны ручкой. При очень большом числе частиц, которое имеется в нашем мире, число ручек будет невообразимо огромным. И поэтому сложность такого пространства становится просто чудовищной. Но этой сложности мы не наблюдаем.

Вторая проблема - это то, что величина заряда этих частиц может быть любой. Но в реальности мы наблюдаем частицы, у которых заряды строго кратны заряду электрона. Идея Уилера никак не объясняет этот факт. Уже этих двух проблем достаточно, чтобы  понять, что идею Уилера необходимо модифицировать. Надо оставить ее сильные стороны - они связаны  с топологией пространства, и удалить недостатки - они связаны с трактовкой заряда.

Анализируя идею Уилера, можно понять, что в ней физическое содержание электрического заряда, а также электрического и магнитного полей, вообще никак не затрагивается. Они существуют сами по себе  вне зависимости от строения пространства. Однако именно структура пространства в форме топологической ручки по идее Уилера и призвана "объяснить" физический смысл этих понятий. Таким образом, задача модификации идеи Уилера должна состоять именно в органичном соединении понятий топологии и понятий электромагнитной теории. Только после этого мы сможем, пользуясь такой красивой во всех отношениях идеей, ответить на вопрос - как создать электрон и сколько для этого потребуется энергии?

Но это уже, как говорят, другая история.  Об этом пойдет речь в следующем разделе данных заметок.