Тригонометрическое пояснение к инструкции по трисекции острого угла (no replies)
Сергей Леонидович Михайлов
smthrsol@internet.ru
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Как известно, теория без практики мертва, но тогда практика без теории бессмысленна и ошибочна. Предлагаемое сообщение это и устраняет.
1. Метод r- полос в применении к трисекции острого угла ^ABC=β [1] начинается с получения точки F – точки пересечения двух граничных прямых полос шириной r и 2r, прямые (a₁) и (c₂) соответственно F=(a₁)∩(c₂), Рис.1. Частные построения [2].
[IMG]https://s8d5.turboimg.net/t/103569360_2024-07-29_14-36-29_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.1.
Первый этап построения для трисекции угла ^ABC=60⁰. Определение точек F, G, L, M, Q, P и углов ^FBG=φ и ^LBG=ψ. Мелкие неточности сделаны здесь специально, чтобы подчеркнуть отличие отрезка FG=r от отрезка GL=r/Cos(ψ/2). Рисунок демонстрационный, не для точных измерений по нему здесь.
2. Перпендикуляр из F на луч AB создаёт там точку G, отрезок GF=r, а соединив B с F получим угол ^FBG=φ и прямоугольный треугольник ΔGBF.
3. Имеем также отрезок BG=r/tgφ на луче AB и проводим им дугу ᵕBG(B), соединяя так лучи исходного угла. Этим получаем точки L и P на прямых (a₁) и (c₁) и равные отрезки BG=BL=BP=r/tgφ тогда.
4. Cоединение отрезком прямой точек G и L – отрезок GL и прямоугольный треугольник ΔFGL ^FGL=ψ/2, GL=r/Cos(ψ/2).
5. Точка L также создаёт равнобедренный треугольник ΔGBL с углом при вершине B: ^GBL=ψ=^CBP соответственно. Высота в этом треугольнике есть и биссектриса ^GBL и делит его пополам на два угла ψ/2. Отсюда этот угол равен ^FGL как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
6. Тогда ^LBP=β-2ψ и соединяя точки L и P получаем отрезок LP и равнобедренный треугольник ΔLBP также. Длина его основания LP = 2LQ, где Q есть основание высоты из B и LQ=BLSin(β/2-ψ), LP=2BLSin(β-ψ/2).
7. Итак, вся площадь острого угла ^ ABC заполнена тремя равнобедренными треугольниками с общей вершиной B и равными боковыми сторонами. Если к тому же равны все три угла при вершине B между собою, то это и есть построение трисекции β- угла: β=3ψ.
8. Поэтому мы должны доказать, что LP=GL: 2BLSin(β/2-ψ)=r/Cos(ψ/2)=2rSin(β/2-ψ)/tgφ, 1/Cos(ψ/2)=2Sin(β/2- ψ)/tgφ.
9. Или LP/LQ=1=2Sin(β/2-ψ)Cos(ψ/2)=tgφ=FG/BG=r/BG. Если Sin(β/2-ψ)=Sin(ψ/2), то 2Sin(ψ/2)Cos(ψ/2)=Sinψ=tgφ=r/BG в прямоугольном треугольнике ΔGBF. И β/2-ψ=ψ/2, β/2=ψ+ψ/2,
10. β=3ψ при этом, т.е. β- трисекция решена ψ- углом если Sinψ=tgφ.
11. Обратно – если мы имеем равенство отрезков LP=GL, то это и есть гарантия β- трисекции ψ- углом.
12. Последнее можно легко получить геометрически, как только получена точка G и угол φ=^FBG, определяя этим угол ψ=β/3 в точности.
13. Для этого имея отрезок BG – Рис.1, строим дугу из G радиуса r и решаем задачу касания к ней из вершины B [2](IV.A.17), так получая точку касания M, отрезок BM и угол ^GBM=ψ=β/3. Это быстрый практический вариант решения трисекции любого острого β- угла – Рис.1. В сущности это переход от угла φ к углу ψ=β/3 прямым построением простейшим и точным методом.
14. На Рис.2. ранее полученный прямоугольный треугольник ΔGBM создаёт две дуги радиусов BM и BG в площади угла ^ABC и в пересечении r- дуги из G получаем точку N и угол ^BNG=90⁰.
[IMG]https://s8d5.turboimg.net/t/103569361_2024-07-29_17-05-03_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.2.
Построение β- трисекции угла β=^ABC=60⁰=3ψ, ψ=20⁰.Выполнено в полу-ручном режиме бесплатная версия графического пакета Inkscape и не предназначено для точных измерений, носит демонстрационный характер.
15. Этим скопирован ΔGBM и далее создаётся такой же треугольник. Они оба в объединении составляют равнобедренный треугольник ΔGBT с углом при вершине B ^GBT=2ψ=2β/3, а угол ^TBC=ψ.
16. Этому отвечают два равноправных варианта геометрического построения для решения β- трисекции (β=3ψ): 1) заполнение площади β- угла тремя равными равнобедренными треугольниками и 2) заполнение прямоугольными треугольниками – Рис.2., когда образуется и равнобедренный треугольник также, как объединение двух прямоугольных по общему большему катету их с вершинным углом 2ψ=2β/3 в нём и его высотой BN=BM соответственно.
17. Если эту высоту BN продолжить до длины отрезка BG, то оба варианта отлично объединяются в одном общем построении, что и показано на Рис.2.
18. Итоговый Комментарий Автора:
19. Точка F=(a₁)∩(c₂) создаёт отрезок BG и дугу ᵕBG(B), соединяющую лучи исходного угла – Рис.1;
20. Дуга ᵕBG(B) приводит к условию для реализации β- трисекции, показанному на Рис.2: Sinψ=tgφ, как частное геометрическое построение слева от луча AB;
21. Использование трёх равнобедренных равных треугольников в построении решения β- трисекции и тригонометрические соотношения и условие Sinψ=tgφ ведут ко второму варианту построения решения β- трисекции, как совокупности трёх равных прямоугольных треугольников с меньшим ψ- углом в них – Рис.2. Оба варианта – суть одно решение β- трисекции;
22. Равнобедренный треугольник ΔGBS состоит из двух равных между собой прямоугольных треугольников при том равных также и прямоугольному треугольнику ΔGBM, чем и выполняется соотношение β=3ψ, где β – угол острый.
23. Условие Sinψ=tgφ выполнимо при ψ<30⁰, Sinψ<1/2=tgφ. Общий случай 2β=α, и угол α может быть тупым углом вполне;
24. Вышеизложенное есть также обоснование для n- секции угла и более общего случая. Сообщение готовится автором;
25. Условие Sinψ=tgφ геометрически приводит к сверхбыстрому алгоритму точного решения трисекции угла циркулем и линейкой без делений посредством объединения двух прямоугольных треугольников ΔGBF и ΔGBM в частном построении на Рис.1. за 5 алгоритмических шагов в сущности.
26. Известное «Доказательство Ванцеля» о неразрешимости трисекции угла основывалось на тригонометрических соотношениях, то и данное сообщение выполнено автором на тригонометрических соотношениях также. Не оспаривая правильности того результата, предлагаемый автором алгоритм по сути создаёт интересную коллизию и вполне может развернуться интересная дискуссия для всех желающих.
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Источники информации
1. Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – Высшая математика 13.06.24 16:47.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М. Наука, 1974, изд.23.