Простые числа: определение, история и примеры задач

Все натуральные числа можно складывать, вычитать, делить и умножать. Но у некоторых из них есть всего два делителя. Такие числа называют простыми. В статье расскажем, что к ним относится, кто первым изучал это математическое понятие, а также поделимся современными открытиями по теме.

Что такое простые числа: определение 

Так называют натуральные числа больше единицы, которые делятся только на 1 и на самих себя. Например, 4 можно представить как произведение 1 и 4 или двух двоек: 2 × 2 = 4. Во втором случае оба множителя будут меньше четверки и, кроме того, число делится не только на само себя и единицу, но и на 2. Значит, 4 — не простое число. 

Другой пример: число 5 можно представить только как произведение единицы и пятерки. У этого числа нет других делителей, кроме 1 и самого себя, поэтому 5 — простое число. 

Простые числа могут состоять из одной или нескольких цифр. В самых больших из них — множество миллионов символов. 

Простые числа — важное понятие в математике. Их считают строительными «кирпичиками», из которых путем умножения получается множество сложных чисел. 

Какие еще бывают числа

Количество чисел бесконечно, но все их можно разделить на несколько видов по разным признакам: четные и нечетные, целые и дробные и др. Рассказываем подробнее про натуральные и составные числа, которые близки по признакам к простым. 

Натуральные

Это числа, которые используют для пересчета предметов. Самое маленькое натуральное число — 1, а наибольшего назвать невозможно, потому что их бесконечное количество. Множество таких чисел обозначают латинской буквой N.

Составные

Это такие натуральные числа, которые имеют делители, отличные от 1 и самого себя, и ответ получается без остатка. Например, 6 делится на 1, 2, 3 и 6, а 12 — на 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

Кто открыл простые числа: история

Точный ответ на этот вопрос неизвестен. Ученые находят упоминания о простых числах уже в древнеегипетских папирусах, которые были созданы более 3500 лет назад. 

Первые серьезные исследования этого математического понятия проводили древнегреческие математики. Например, Эратосфен Киренский в III веке до н. э. создал способ, как выделить простые числа на каком-либо числовом отрезке. Этот способ называют «решетом Эратосфена».

Примерно в это же время математик Евклид сформулировал предпосылки к основной теореме арифметики. Она гласит, что любое натуральное число больше единицы можно разложить на простые делители без остатка (1). Математику также принадлежит утверждение о бесконечности простых чисел. 

Таблица простых чисел 

Простые числа регулярно встречаются среди натуральных. Можно находить их самостоятельно или воспользоваться специальными таблицами, в которых перечислены все простые значения до 100, 1000 или 10 000. Более крупные числа проще выделить с помощью компьютера. 

В таблице собрали все простые числа до 100 (2). 

Какое простое число является самым большим

— Самого большого простого числа не существует, — объясняет Дарья Дейген, эксперт ЕГЭ по математике, заместитель директора Университетской гимназии МГУ им. М. В. Ломоносова. — Множество простых чисел бесконечно: этот факт доказал Евклид еще за 300 лет до нашей эры. Среди простых чисел выделяют числа Мерсенна, которые задаются формулой 2^p – 1, где р — простое число. С помощью этой формулы мы можем сформировать очень большие простые числа. 

Долгое время самым большим простым числом считалось 2 147 483 647. Его вычислил математик Леонард Эйлер в 1722 году. В последнее время таким числом было 2 в степени 82 589 933 – 1: в нем около 25 млн цифр. Его рассчитал Патрик Ларош в 2018 году. 

В октября 2024 года исследователь Люк Дюрант поставил новый рекорд: рассчитал простое число из более чем 41 млн цифр. Им стало 2^136,279,841 – 1.

Как разложить число на простые множители

— Для этого необходимо последовательно проверить его делимость на простые числа: 2, 3, 5 и т. д., — объясняет эксперт Дарья Дейген.

Начинать нужно с наименьшего простого числа — это 2. Если исходное число можно разделить без остатка, записываем двойку в множители и продолжаем деление, пока это возможно. Так нужно проверить все простые значения в числовом отрезке. 

Начинать нужно с наименьшего простого числа — 2. Если исходное число делится на него без остатка, записываем двойку в множители и продолжаем деление, пока это возможно. Затем переходим к следующему простому числу. Проверку достаточно проводить до квадратного корня от исходного числа.

Например, разложим число 36.

36 : 2 = 18. 

18 тоже делится на двойку: 18 : 2 = 9.

9 на 2 разделить нельзя, поэтому переходим к следующему простому числу — тройке: 9 : 3 = 3.

Последнее число делится только на 3 и 1.

Значит, ответ будет: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.

В каком классе изучают простые числа

Все зависит от конкретной программы. По одним учебникам математики тему изучают в пятом классе, а по другим — в шестом. 

Примеры задач на действия с простыми числами

— Разложение на простые множители в школьной программе используют для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК), — объясняет Дарья Дейген. Эксперт поделилась примерами задач с такими действиями. 

1. Разложить на простые множители

Условие: разложите на простые множители число 84.

Решение: 

• 84 : 2 = 42
• 42 : 2 = 21
• 21 : 3 = 7
• 7 : 7 = 1

Ответ: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7.

2. Найти НОД

Условие: найдите наибольший общий делитель чисел 36 и 48.

Решение: сначала разложим оба числа на простые множители. 

• 36 : 2 = 18
• 18 : 2 = 9
• 9 : 3 = 3
• 3 : 3 = 1

• 48 : 2 = 24
• 24 : 2 = 12
• 12 : 2 = 6
• 6 : 2 = 3
• 3 : 3 = 1

Теперь нужно найти наибольшее число, на которое делится и 36, и 48. Для этого ищем общие простые множители. Напишем их в скобках:

Значит, НОД = 2 × 2 × 3 = 12.

Можно проверить этот ответ: и 36, и 48 можно разделить на 12, и нет большего числа, на которое они оба будут делиться. 

Ответ: наибольший общий делитель чисел 36 и 48 = 12.

3. Найти НОК

Условие: найдите наименьшее общее кратное для чисел 36 и 48.

Решение: оба значения мы уже разложили на простые множители. Теперь нужно найти самое маленькое число, которое делится и на 36, и на 48. Для этого нужно взять все множители первого числа и добавить к этому произведению множители второго числа, которых не хватает, чтобы получить 48. 

2 × 2 × 3 × 3 — это множители 36. До 48 не хватает еще двух множителей: 2 × 2.

НОК = 2 × 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 144.

Ответ: наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 — это 144.

Комментарий эксперта

— Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Они всегда положительные и целые. Например, это 5, 13, 29, 101, 1009, — рассказывает Дарья Дейген. — Самое маленькое простое число — это 2. Интересно, что это также единственное четное простое число. Остальные четные числа не могут быть простыми, так как точно делятся не только на 1 и самого себя, но и на 2. 

Эксперт добавляет, что простые числа бывают четными (2) и нечетными (все остальные). Также есть понятие «простых чисел-близнецов» — это два простых числа, которые отличаются друг от друга на 2. Например, 5 и 7, 29 и 31.

Что нужно запомнить о простых числах 

Эту тему изучают на уроках в средней школе. Перечислили основные моменты, которые важно знать, чтобы хорошо в ней разбираться. 

1. Простые числа — это натуральные числа больше единицы, которые делятся только на 1 и на самих себя. 
2. Простые числа были известны древним египтянам, а изучать их начали древнегреческие математики. 
3. Наименьшее простое число — 2.
4. Простые числа бесконечны, но наибольшее значение, которое известно науке сегодня, — это 2136,279,841– 1.
5. Простые числа бывают четные — это 2, и нечетные — все остальные.
6. Любое сложное число можно разложить на простые числа. Чтобы это сделать, нужно последовательно делить его на простые значения: 2, 3, 5, 7 и т. д. 

Список источников:

1. Жиков В. Основная теорема арифметики. Соросовский образовательный журнал. 2000.

2. Цагер Д. Первые 50 миллионов простых чисел. Успехи математических наук. 1984. Т. 39. № 6(240).

Эксперт: Дарья Дейген, эксперт ЕГЭ по математике, заместитель директора Университетской гимназии МГУ им. М. В. Ломоносова