Планета математики

Первый день календарной зимы, день рождения великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского, в этом году объявлен Днем математика. Как эта наука входит в нашу повседневную жизнь? Чтобы объяснить, проще всего сослаться на то, что эта наука — язык физики, на которой основано большинство окружающих нас технологий.

Например, квантовая физика формулируется в терминах «гильбертовых пространств», которые изобрел более 100 лет назад великий немецкий математик Давид Гильберт. Тогда еще никто не знал о квантовых электронных устройствах вроде транзисторов в процессоре и светодиодов на экране смартфона, на котором вы, возможно, сейчас читаете этот текст, — но в конечном счете гильбертовы пространства сделали возможным их изобретение, расчет и производство (как, вероятно, сделают возможным и квантовый компьютер).

Впрочем, это еще не вся математика, которая оказывается в ваших руках, как только вы достали смартфон. Когда вы звоните или бесконтактно оплачиваете им покупку на кассе, в смартфоне работают теория информации и теория чисел. Именно благодаря им звук вашей речи надежно кодируется от помех даже при слабом сигнале, а банк получает криптозащищенную команду списать стоимость покупки со счета.

Такие примеры нетрудно множить, но их общий недостаток — в том, что они рисуют математику набором слабо связанных заклинаний из какого-то магического искусства, а общая картина не собирается. Чтобы увидеть эту картину хотя бы в общих чертах, попробуем сравнить эту науку с планетой — такой как Земля.

Математика — это про то, как что-то подсчитать, не правда ли? Методы расчетов и алгоритмы, такие как только что упомянутые помехоустойчивые коды и алгоритмы криптозащиты, образуют «кору» этой планеты. Это ее горы, реки, озера и моря, карьеры, шахты и нефтяные скважины — всё то, что видно невооруженным глазом, с чего мы начали и что составляет приложения математики в других науках и технологических отраслях.

Под корой планеты скрыта мантия — с ней можно сравнить конкретные математические теории, в которых коренится обоснование этих методов и алгоритмов. На этом невидимом внешнему наблюдателю уровне работают исследователи, создающие основную массу математических результатов, за счет которых и происходит ее развитие как науки.

Но некоторые из этих результатов своим появлением так сильно меняют структуру мантии (а вместе с ней и ландшафт коры), что их правильно считать как бы «ядром» математики. Вот простой пример. В XVI веке итальянские математики, которые придумывали методы решения алгебраических уравнений, обнаружили, что если подчинить «мнимые числа» — квадратные корни из отрицательных чисел — обычным правилам арифметики, то с их помощью удается находить решения таких уравнений, которые иначе не решаются. Это выглядело как интересное алгебраическое изобретение — то есть с точки зрения нашей аналогии казалось, что эти они достроили часть «мантии» математической планеты.

Однако за последующие несколько веков постепенно стало ясно, что комплексные числа, то есть те, которые можно составить из действительной и мнимой частей, взятые все вместе, обладают богатейшими геометрическими и топологическими свойствами. Изучая функции, отображающие комплексные числа в комплексные числа, Риман пришел к понятию «римановой поверхности», а обобщив его, получил «риманово пространство», с помощью которого еще через несколько десятилетий Эйнштейн сформулировал свою общую теорию относительности. Параллельно с этим оказалось, что на языке комплексных чисел удобно описывать всевозможные колебательные процессы и рассчитывать электрические цепи переменного тока.

Так конструкция, которая на первый взгляд была чисто алгебраической (и которую один из ее создателей — Джироламо Кардано — считал «столь тонкой, что она вряд ли принесет много пользы»), оказалась мостом, связывающим абсолютно разные разделы математики, часть из которых в момент изобретения комплексных чисел просто не существовала. Причем весь этот мир был «спрятан» уже в исходных построениях дель Ферро, Тартальи и Кардано, но он оказался столь богат, что полностью раскрыть его смогли лишь несколько поколений специалистов.

Вспоминая о календарной дате, ставшей поводом для этих заметок, скажем, что геометрия Лобачевского — это, конечно, тоже часть «ядра» математики. В тот исторический момент, когда ученый представил коллегам свои работы по теории параллельных, это не было очевидно: более того, многие первоклассные математики отнеслись к этим работам скептически, чтобы не сказать враждебно.

Но к концу второй трети XIX века не только геометрия Лобачевского была признана, но после нее накопилось еще много разновидностей других неевклидовых геометрий, и Феликс Клейн смог сформулировать главный принцип: каждой из геометрий отвечает свой набор преобразований пространства, и объектами каждой геометрии являются соответствующие «инварианты», то есть то, что при преобразованиях не меняется: углы и расстояния при евклидовых вращениях или прямые и их пересечения при проективных преобразованиях.

Это открытие Клейна тоже столкнуло алгебру и геометрию друг с другом. На этот раз не в алгебре обнаружилась геометрическая структура, как это было с комплексными числами, а, наоборот, геометрию оказалось правильным описывать через алгебраические группы преобразований. Последовательное выполнение этой программы стало одной из основных тем математики XX века.

Интересно, что примерно в те же годы, когда Клейн формулировал свою программу, многие — например, Альфред Нобель — считали математику завершенной наукой, в которой больше ничего не будет открыто. Но судьба открытия Лобачевского, как и многих других после него, показывает, что потенциал развития не исчерпан и, по-видимому, никогда не будет исчерпан.

А значит, и волшебные заклинания, с помощью которых работают технологии и в конечном счете создается и обогащается наша повседневность, будут множиться.

Автор — директор Высшей школы современной математики МФТИ

Позиция редакции может не совпадать с мнением автора