Возможно ли определить форму барабана по звукам, которые он издает
Возможно, решена математическая задача 70-летней давности, а точнее расшифровка геометрии музыки. Это новый прорыв в математической гипотезе, сообщает «scitechdaily».
Прошлым летом профессор математики Полтерович и его международные коллеги — Николай Филонов, Майкл Левитин и Дэвид Шер — доказали частный случай знаменитой гипотезы в спектральной геометрии, сформулированной в 1954 году выдающимся венгерско-американским математиком Джорджем Полем. Возможно ли определить форму барабана по звукам, которые он издает?
Гипотеза основана на оценке частот круглого барабана или, выражаясь математическим языком, собственных значений диска.
Сам Джордж Полем подтвердил свою гипотезу в 1961 году для областей, которые занимают плоскость, таких как треугольники и прямоугольник. До прошлого года гипотеза была известна только для этих случаев. Диск, несмотря на свою кажущуюся простоту, оставался неуловимым.
«Представьте себе бесконечный пол, покрытый плитками одинаковой формы, которые подходят друг к другу, чтобы заполнить пространство», - сказал Полтерович. «Он может быть выложен квадратами или треугольниками, но не дисками. Диск на самом деле не самая подходящая форма для укладки плитки».
В статье, опубликованной в июле 2023 года в математическом журнале Inventiones Mathematicae, исследователи показывают, что гипотеза Поля верна для диска, случай, считающийся особенно сложным.
Хотя их результат, по существу, имеют теоретическую ценность, их метод доказательства имеет приложения в вычислительной математике и численных вычислениях. В настоящее время авторы исследуют этот путь.
«Хотя математика является фундаментальной наукой, в некотором смысле она похожа на спорт и искусство», - сказал профессор Полтерович.
«Попытка доказать давнюю гипотезу — это спорт. Поиск элегантного решения — это искусство. И во многих случаях прекрасные математические открытия действительно оказываются полезными — вам просто нужно найти правильное применение».